7 fiches de cours magistraux : pourcentages, statistiques, équations du premier degré, suites numériques, probabilités, géométrie, dérivation.
7 exercices d'application corrigés et raisonnés, un par fiche.
7 encadrés « À retenir », 7 pièges à éviter, 7 mnémotechniques.
1 récapitulatif de partie sous forme de tableau de révision rapide.
Les fiches de cours
Chaque fiche : objectifs, cours, méthode, exercice corrigé, à retenir, piège et mnémotechnique.
1.1 Pourcentages
Objectifs — Calculer un pourcentage d'une quantité, déterminer un taux d'évolution, enchaîner deux évolutions successives et retrouver une valeur initiale.
L'essentiel du cours
Prendre un pourcentage. Prendre t % de Q revient à calculer Q × t/100. Ainsi 30 % de 900 = 900 × 30/100 = 270.
Exprimer une part en pourcentage. Une part p représente (p/Q) × 100 pour cent du tout. Ainsi 15 sur 60 donne 15/60 = 0,25, soit 25 %.
Taux d'évolution. Entre une valeur de départ Vd et une valeur d'arrivée Vₐ : t = (Vₐ-Vd)/(Vd) × 100. La division se fait toujours par la valeur de départ.
Coefficient multiplicateur. Une hausse de t % correspond au coefficient k = 1+t/100 ; une baisse de t % au coefficient k = 1-t/100.
Évolutions successives. Deux évolutions de coefficients k₁ puis k₂ équivalent à une évolution unique de coefficient k₁ × k₂. Les pourcentages ne s'additionnent jamais.
Retour à la valeur initiale. Pour remonter d'une valeur finale à la valeur initiale, on divise par le coefficient : Vd = Vₐ/k.
Méthode de travail — Identifier la valeur de référence, choisir entre pourcentage direct et taux d'évolution, calculer, puis vérifier en refaisant le chemin inverse.
Exercice d'application
Un article coûte 25 000 F. Son prix augmente de 12 %, puis baisse de 5 %. Quel est le prix final ?
A.26 750 F
B.26 600 F
C.27 000 F
D.25 900 F
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Bonne réponse : B
On applique successivement les deux coefficients : 25 000 × 1,12 × 0,95 = 26 600 F. Le coefficient global vaut 1,12 × 0,95 = 1,064, soit une hausse totale de 6,4 % — et non de 7 %, ce que donnerait l'addition fautive des deux taux.
✅
À retenir
Hausse de 20 % puis baisse de 20 % : 1,20 × 0,80 = 0,96, soit une baisse globale de 4 %, et non un retour au point de départ.
⚠️
Piège à éviter
Diviser par la valeur d'arrivée au lieu de la valeur de départ produit systématiquement un taux sous-estimé.
Mnémotechnique
« CoMu » : les Coefficients se Multiplient. « ADD » : Arrivée moins Départ, Divisé par le départ.
1.2 Statistiques
Objectifs — Calculer une moyenne simple et une moyenne pondérée, distinguer moyenne, médiane et étendue, et lire un tableau d'effectifs.
L'essentiel du cours
Moyenne arithmétique. Moyenne = somme des valeurs ÷ effectif. Pour 1, 2, 3, 10 : (1+2+3+10)/4 = 16/4 = 4.
Moyenne pondérée. Lorsque chaque valeur xᵢ possède un coefficient nᵢ : moyenne = Σ(nᵢ xᵢ)/Σ nᵢ. C'est le calcul d'une moyenne de notes affectées de coefficients.
Médiane. Valeur qui partage la série ordonnée en deux moitiés d'effectifs égaux. Pour un effectif pair, on prend la demi-somme des deux valeurs centrales.
Étendue. Différence entre la plus grande et la plus petite valeur ; elle mesure la dispersion la plus grossière.
Effet des valeurs extrêmes. La moyenne est sensible aux valeurs extrêmes, la médiane ne l'est pas. Dans la série 1, 2, 3, 10, la moyenne vaut 4 alors que la médiane vaut 2,5.
Méthode de travail — Ordonner la série avant tout calcul de médiane ; ne jamais confondre effectif total et nombre de valeurs distinctes.
Exercice d'application
La moyenne de 1, 2, 3, 10 est :
A.4
B.16
C.10
D.1
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Bonne réponse : A
La somme vaut 16, l'effectif 4, donc la moyenne vaut 16/4 = 4. L'option B reprend la somme sans diviser ; l'option C confond moyenne et valeur maximale ; l'option D confond moyenne et valeur minimale.
✅
À retenir
Moyenne = somme ÷ effectif ; la médiane partage l'effectif en deux, pas les valeurs.
⚠️
Piège à éviter
Oublier de diviser par l'effectif : l'option « somme brute » figure presque toujours parmi les distracteurs.
Mnémotechnique
« MoyenSomme sur Effectif » ; « MÉDIane = MILIeu ».
1.3 Équations du premier degré
Objectifs — Résoudre une équation du premier degré à une inconnue, factoriser une expression simple et vérifier une solution.
L'essentiel du cours
Principe de résolution. On isole l'inconnue en effectuant la même opération sur les deux membres : soustraire, ajouter, diviser, multiplier.
Exemple type. 6x+5 = 35 ⇒ 6x = 30 ⇒ x = 30/6 = 5.
Vérification systématique. Substituer la solution trouvée dans l'équation initiale : 6 × 5+5 = 35. Le contrôle prend trois secondes et élimine toute erreur de signe.
Factorisation. Repérer le plus grand facteur commun, le mettre en évidence, puis diviser chaque terme par ce facteur : 4x+12 = 4(x+3). Le contrôle se fait par redéveloppement.
Équation produit. Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul : (x-2)(x+5) = 0 donne x = 2 ou x = -5.
Inéquations. Mêmes règles, à une exception près : multiplier ou diviser par un nombre négatif inverse le sens de l'inégalité.
Méthode de travail — Isoler, calculer, vérifier. En QCM, la substitution directe des quatre options est souvent plus rapide que la résolution.
Exercice d'application
La solution de 5x+7 = 27 est :
A.6
B.5
C.4
D.-4
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Bonne réponse : C
5x = 27-7 = 20, donc x = 20/5 = 4. Vérification : 5 × 4+7 = 27. L'option A résulterait d'une soustraction erronée, l'option B d'une division par 4, l'option D d'une faute de signe.
✅
À retenir
Résoudre, c'est isoler l'inconnue ; vérifier, c'est substituer.
⚠️
Piège à éviter
Oublier d'inverser le sens de l'inégalité lorsqu'on divise une inéquation par un nombre négatif.
Mnémotechnique
« IRV » : Isoler, Résoudre, Vérifier.
1.4 Suites numériques
Objectifs — Reconnaître une suite arithmétique ou géométrique, calculer un terme de rang donné et identifier la raison.
L'essentiel du cours
Suite arithmétique. On passe d'un terme au suivant en ajoutant une constante r, appelée raison : uₙ = u₀+n × r. Pour u₀ = 3 et r = 4 : u₅ = 3+5 × 4 = 23.
Suite géométrique. On passe d'un terme au suivant en multipliant par une constante q : uₙ = u₀ × qⁿ. Pour u₀ = 2 et q = 3 : u₄ = 2 × 3⁴ = 162.
Identifier la nature. Calculer les différences successives : si elles sont constantes, la suite est arithmétique. Calculer les quotients successifs : s'ils sont constants, elle est géométrique.
Erreur d'indice. De u₀ à u₅, il y a cinq pas et non six. Si la suite commence à u₁, la formule devient uₙ = u₁+(n-1) × r.
Somme des premiers termes. Pour une suite arithmétique : S = (nombre de termes) × (premier+dernier)/2.
Méthode de travail — En cas de doute, écrire la suite en entier : 3, 7, 11, 15, 19, 23. La méthode est infaillible sur les petits rangs.
Exercice d'application
Si u₀ = 3 et r = 4, alors u₅ vaut :
A.27
B.17
C.20
D.23
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Bonne réponse : D
u₅ = 3+5 × 4 = 23. L'option A correspond à u₆ (erreur d'indice), l'option C à 5 × 4 sans le terme initial, l'option B à une soustraction du terme initial.
✅
À retenir
uₙ = u₀+n· r : l'indice compte les pas, pas les termes écrits.
⚠️
Piège à éviter
L'erreur d'indice est la faute la plus fréquente sur les suites : vérifiez toujours si la suite démarre à u₀ ou à u₁.
Mnémotechnique
« u₀ est le départ, pas un pas ».
1.5 Probabilités
Objectifs — Calculer une probabilité en situation d'équiprobabilité, utiliser l'événement contraire et combiner deux événements.
L'essentiel du cours
Définition. En situation d'équiprobabilité, P(A) = nombre de cas favorables ÷ nombre de cas possibles. Toute probabilité est comprise entre 0 et 1.
Exemple type. Parmi les jetons numérotés de 1 à 10, il y a 5 jetons pairs, donc P(pair) = 5/10 = 1/2 = 0,5.
Événement contraire. P(non-A) = 1-P(A). C'est souvent le chemin le plus court : la probabilité d'« au moins un » se calcule par le contraire « aucun ».
Réunion de deux événements. P(A∪ B) = P(A)+P(B)-P(A∩ B). Le terme soustrait évite de compter deux fois l'intersection.
Événements incompatibles. Si A et B ne peuvent pas se produire ensemble, P(A∩ B) = 0 et la formule se réduit à une simple addition.
Événements indépendants. Si la réalisation de A ne modifie pas celle de B : P(A∩ B) = P(A) × P(B).
Méthode de travail — Dénombrer d'abord les cas possibles, puis les cas favorables. Contrôler que le résultat reste entre 0 et 1.
Exercice d'application
Calculer la probabilité de tirer un jeton pair parmi les jetons numérotés de 1 à 10.
A.1/10
B.1/5
C.1/2
D.2/3
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Bonne réponse : C
Les jetons pairs sont 2, 4, 6, 8 et 10, soit 5 cas favorables sur 10 cas possibles : P = 5/10 = 1/2. L'option A correspond à la probabilité d'un jeton précis, l'option B au tirage d'un multiple de 5.
✅
À retenir
P(A) = favorables ÷ possibles, et toute probabilité appartient à l'intervalle [0 ;1].
⚠️
Piège à éviter
Une option supérieure à 1 ou négative se barre sans calcul : c'est un distracteur de contrôle.
Mnémotechnique
« FA-PO » : FAvorables sur POssibles.
1.6 Géométrie
Objectifs — Appliquer le théorème de Pythagore et sa réciproque, utiliser le théorème de Thalès, calculer aires et périmètres usuels et maîtriser la trigonométrie du triangle rectangle.
L'essentiel du cours
Théorème de Pythagore. Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse égale la somme des carrés des deux autres côtés : a²+b² = c².
Réciproque de Pythagore. Si a²+b² = c², alors le triangle est rectangle. La réciproque sert à démontrer l'angle droit, jamais à calculer une longueur.
Théorème de Thalès. Dans une configuration de droites parallèles coupant deux sécantes, les longueurs correspondantes sont proportionnelles. Sa réciproque sert à démontrer le parallélisme de deux droites.
Aires usuelles. Rectangle : L × l. Triangle : (base × hauteur)/2. Disque : π R². Périmètre du cercle : 2π R.
Volumes usuels. Pavé : L × l × h. Cylindre : π R² × h. Sphère : (4/3)π R³.
Méthode de travail — Faire une figure, même sommaire, avant tout calcul : elle révèle immédiatement quel théorème s'applique.
Exercice d'application
La réciproque du théorème de Thalès permet principalement de :
A.Calculer une aire
B.Démontrer que deux droites sont parallèles
C.Mesurer un angle
D.Démontrer qu'un triangle est rectangle
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Bonne réponse : B
La réciproque de Thalès établit le parallélisme à partir de rapports de longueurs égaux. L'option D décrit la réciproque de Pythagore, distracteur principal de ce QCM ; les options A et C relèvent d'autres outils.
✅
À retenir
Thalès et sa réciproque parlent de parallélisme ; Pythagore et sa réciproque parlent d'angle droit.
⚠️
Piège à éviter
Confondre les deux réciproques : c'est l'erreur la plus sanctionnée en géométrie.
Mnémotechnique
« ThaLÈS = paraLLÈLES ; PythagORE = angle drOIT ».
1.7 Dérivation
Objectifs — Dériver les fonctions usuelles, appliquer les règles de somme et de produit par un réel, et interpréter le signe de la dérivée.
Linéarité. (u+v)' = u'+v' et (ku)' = ku' pour tout réel k.
Produit et quotient. (uv)' = u'v+uv' ; (u/v)' = (u'v-uv')/v².
Application type. Pour f(x) = 2x³+x², on dérive terme à terme : f'(x) = 2 × 3x²+2x = 6x²+2x.
Interprétation. Si f'>0 sur un intervalle, f y est croissante ; si f'<0, f y est décroissante. Un extremum local annule la dérivée.
Nombre dérivé. f'(a) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse a.
Méthode de travail — Dériver terme par terme, sans jamais oublier de multiplier par l'ancien exposant avant de le diminuer d'une unité.
Exercice d'application
La dérivée de f(x) = 2x³+x² est :
A.6x²+2x
B.2x²+x
C.6x³+2x²
D.3x²+2x
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Bonne réponse : A
Chaque terme se dérive séparément : (2x³)' = 6x² et (x²)' = 2x. L'option C a diminué le coefficient sans toucher l'exposant, l'option D a oublié le facteur 2 du premier terme, l'option B n'a pas appliqué la règle de puissance.
✅
À retenir
(xⁿ)' = n xⁿ⁻¹ : l'exposant descend en facteur puis diminue d'une unité.
⚠️
Piège à éviter
Oublier de multiplier par l'exposant initial, ou dériver une constante autrement que par 0.
Mnémotechnique
« L'exposant descend, puis recule d'un pas ».
Récapitulatif de la partie
Notion, réflexe décisif, piège principal : le tableau à relire avant l'épreuve.
Notion
Réflexe décisif
Piège principal
Pourcentages
Coefficients multiplicatifs, jamais d'addition de taux
Diviser par la valeur d'arrivée
Statistiques
Somme ÷ effectif ; ordonner avant la médiane
Oublier de diviser par l'effectif
Équations
Isoler, résoudre, vérifier par substitution
Ne pas inverser l'inégalité par un négatif
Suites
uₙ = u₀+n r ; l'indice compte les pas
L'erreur d'indice (u₀ ou u₁)
Probabilités
Favorables ÷ possibles, résultat dans [0 ;1]
Retenir une valeur >1
Géométrie
Faire la figure avant tout calcul
Confondre les réciproques de Thalès et de Pythagore
Dérivation
L'exposant descend puis recule d'un pas
Oublier le facteur de l'exposant initial
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